Поверхности второго порядка

Параболоиды

Цилиндрические поверхности

3. Конические поверхности

Цели занятия: научиться строить поверхности типа параболоидов; изучить конические и цилиндрические поверхности.

Роль и место лекции

В лекцией рассмотрены такие принципиальные типы поверхностей, как цилиндрические и конические. Материал ограничивается вариантами плоской направляющей и прямой образующей. Приведенные в этой лекции сведения, нужны при исследовании тем «Поверхности уровня» и «Дифференциал Поверхности второго порядка функций многих переменных и его приложения», и т. д. Направьте внимание на поверхности типа гиперболического параболоида.

Параболоиды

Сферический и эллиптический параболоид

Определение 1.

Параболоидом вращения именуется поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Получим поверхность, вращая кривую – параболу, вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид либо

. (1)

Если параболоид вращения деформирован сжатием Поверхности второго порядка либо растяжением в области радиального сечения, то получится эллиптический параболоид

. (2)

Данные поверхности изображены на рис. 1.

Гиперболический параболоид

Исследуем способом сечений поверхность

. (3)

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

либо – две прямые.

Cделаем сечение плоскостью . Тогда – гипербола.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

либо – парабола.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

либо – парабола.

Дополнительно создадим сечение плоскостью . Тогда - парабола. Т. к Поверхности второго порядка. в сечениях две параболы, одна гипербола, как следует, это гиперболический параболоид рис. 2.

2. Цилиндрические поверхности

Определение 2.

Цилиндрической поверхностью именуется поверхность, образованная движением прямой (образующей), параллельно самой для себя и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая ровная , L – направляющая, данная в плоскости . Тогда поверхность будет иметь вид рис. 3. Возьмем на Поверхности второго порядка поверхности некую точку . Разумеется . Как следует, обе точки имеют однообразные координаты x, y и при всем этом в не зависимости от координаты z. Как следует, уравнение направляющей есть уравнение цилиндрической поверхности, если оно рассматривается относительно координат в пространстве

. (4)

При всем этом образующая цилиндра будет параллельна оси координат одноименной с отсутствующей Поверхности второго порядка переменной.

Зависимо от вида направляющей различают такие цилиндрические поверхности:

а) параболический цилиндр рис. 4; б) радиальный цилиндр рис. 5;

в) эллиптический цилиндр рис. 6; г) гиперболический цилиндр рис. 7.

3. Конические поверхности.

Определение 3.

Конической поверхностью именуют поверхность, образованную движением прямой (образующей), проходящей через заданную точку (верхушку) и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая ровная, L Поверхности второго порядка – направляющая, О – верхушка. Тогда поверхность будет иметь вид рис. 8.

В личном случае коническая поверхность может быть образовании вращением некой прямой вокруг оси . При всем этом согласно правилу построения поверхностей вращения

либо . (5)

Уравнение (5) есть уравнение прямого радиального конуса. Исследуем эту поверхность способом сечений

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

либо – две прямые.

2. Сечение Поверхности второго порядка плоскостью , т. е. , тогда

либо – две прямые.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

либо – точка начала координат.

Дополнительно создадим сечение плоскостью . Тогда либо – окружность. Поверхность изображена на рис. 9.

Заключение

Данной лекцией закончена тема «Аналитическая геометрия». Но в протяжении всего курса арифметики нужно будет ворачиваться к ней. К примеру, при исследовании Поверхности второго порядка темы «Функции многих переменных» и др. В последних 2-ух лекциях рассмотрены главные типы поверхностей, встречающиеся в прикладных задачках. Но это только маленькая мало нужная часть сведений о поверхностях.

Отметим последующее:

- есть прямые вполне лежащие на поверхности гиперболического параболоида;

- при деформации поверхности вращения, в конечном уравнении коэффициенты при переменных различны Поверхности второго порядка;

- есть и не прямые конические поверхности;

- рассматривая уравнение плоской кривой второго порядка относительно пространственных координат, получим уравнение цилиндра.

- цилиндр имеет нескончаемую длину.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Лаконичный курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с.

3. Ефимов Н.В. Лаконичный курс аналитической Поверхности второго порядка геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

4. Шипачев В.С. Базы высшей арифметики. - М.: Высшая школа,1998.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Лаконичный курс высшей арифметики. – М.: Наука, 1989, – 659 с.

Предметный укозатель

Наименование Стр.
Ал-Каши
Алгебраическое дополнение
Аристотель
Архимед
Базис операций
Базис пространств
Биекция
Бинарные дела
Вектор
Вектор единичный
Вектора коллинеарные
Вектора Поверхности второго порядка компланарные
Вектора линейно-зависимые
Вектора обратны
Векторное произведение
Верхушка эллипса
Верхушки гиперболы
Гаусс К. Ф.
Гильберт
Гипербола
Гиперболоид
Декарт Рене
Декартов базис
Дирихле
Дополнение огромного количества
Инъекция
Каноническое уравнение гиперболы
Каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение эллипса
Квантор
Континиум
Коническая поверхность
Коши Огюстен-Луи
Лейбниц Генрих

Леонардо да Винчи
Линия
Лобачевский Поверхности второго порядка Н. И.
Ляпунов А.М.
Марков А.А.
Матрица
Матрица диагональная
Матрица квадратная
Матрица оборотная
Матрица столбец
Матрица транспонированная
Матричный способ
Способ Жордана-Гаусса
Способ Крамера
Способ сечений
Минор
Огромного количества конечные
Огромного количества эквивалентные
Огромное количество
Огромное количество нескончаемое
Огромное количество реальных чисел
Огромное количество конечное
Огромное Поверхности второго порядка количество натуральных чисел
Огромное количество пустое
Огромное количество оптимальных чисел
Огромное количество счетное
Огромное количество универсальное
Огромное количество целых чисел
Мощность огромного количества 11, 32
Норма
Ньютон Исаак
Оборотная функция
Оборотное отношение
Общее уравнение плоскости
Объединение множеств
Окружность

Определенная система
Определитель матрицы
Отношение эквивалентность
Дела множеств
Парабола
Параметрическое уравнение прямой
Параболоид Поверхности второго порядка
Скрещение множеств
Плоскость
Поверхность
Подмножество
Подмножество несобственное
Поле
Полуось эллипса
Полярная система координат
Преобразование координат
Преобразование матриц
Проекция
Произведение множеств
Произведение матриц
Места линейные
Места нормированные
Ровная
Ровная на плоскости
Радиус-вектор
Разность множеств
Ранг матрицы
Рефлексивность
Риман
Связное отношение
Симметрическая разность
Симметричность
Скалярное произведение
Смешанное произведение
Совместная система Поверхности второго порядка
Соответствие

Сумма векторов
Сумма матриц
Суперпозиция
Сюръекция
Аксиома де-Моргана
Аксиома Кронекера-Капелли
Аксиома Лапласа
Транзитивность
Угол меж векторами
Угол меж прямыми на плоскости
Угол меж плоскостями
Угол меж прямыми в пространстве
Угол прямой с плоскостью
Унарные дела
Уравнение полосы
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости через 3 точки
Уравнение Поверхности второго порядка прямой в отрезках
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой через 2 точки
Фибоначчи Леонардо Пизанский
Фокус гиперболы
Фокус эллипса
Базовое решение
Функционал
Функция на огромном количестве
Цилиндрическая поверхность
Чебышев П.Л.
Эвклид
Эвклидово место
Эйлер Леонард
Эксцентриситет гиперболы
Эксцентриситет эллипса
Эллипс

Греческий алфавит

Содержание

Вступление
Короткая историческая справка
Лекция № 1 «Множества»
Лекция Поверхности второго порядка № 2 «Алгебра множеств»
Лекция № 3 «Отношения множеств»
Лекция № 4 «Функции множеств»
Лекция № 5 «Линейные пространства»
Лекция № 6 «Векторная алгебра»
Лекция № 7 «Эвклидово пространство»
Лекция № 8 «Определитель»
Лекция № 9 «Матрицы»
Лекция № 10 «Системы уравнений»
Лекция № 11 «Плоскость в пространстве»
Лекция № 12 «Прямая в пространстве»
Лекция № 13 «Прямая на плоскости»
Лекция № 14 «Окружность, эллипс»
Лекция № 15 «Гипербола, парабола»
Лекция № 16 «Сфера, эллипсоиды»
Лекция № 17 «Параболоиды, цилиндры»
Предметный указатель Поверхности второго порядка
Греческий Алфавит

ЗАМЕТКИ

Александр Александрович Смирнов

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ,


povesti-o-smutnom-vremeni-vvedenie.html
povestka-dnya-golosovanie.html
povestka-dnya-o-metodicheskih-rekomendaciyah-dlya-kandidatov-izbiratelnih-obedinenij-o-poryadke-vidvizheniya-i-registracii.html